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[PyTorch 学习笔记]4.3 优化器

2024-06-18 21:44 作者：佚名

本章代码：

这篇文章主要介绍了 PyTorch 中的优化器，包括 3 个部分：优化器的概念、optimizer 的属性、optimizer 的方法。

PyTorch 中的优化器是用于管理并更新模型中可学习参数的值，使得模型输出更加接近真实标签。

PyTorch 中提供了 Optimizer 类，定义如下：

class Optimizer(object):
 def __init__(self, params, defaults):
  self.defaults=defaults
        self.state=defaultdict(dict)
        self.param_groups=[]

主要有 3 个属性

defaults：优化器的超参数，如 weight_decay，momentum
state：参数的缓存，如 momentum 中需要用到前几次的梯度，就缓存在这个变量中
param_groups：管理的参数组，是一个 list，其中每个元素是字典，包括 momentum、lr、weight_decay、params 等。
_step_count：记录更新次数，在学习率调整中使用

zero_grad()：清空所管理参数的梯度。由于 PyTorch 的特性是张量的梯度不自动清零，因此每次反向传播之后都需要清空梯度。代码如下：
def zero_grad(self):
r"""Clears the gradients of all optimized :class:`torch.Tensor` s."""
for group in self.param_groups:
for p in group['params']:
if p.grad is not None:
p.grad.detach_()
p.grad.zero_()
step()：执行一步梯度更新
add_param_group()：添加参数组，主要代码如下：
def add_param_group(self, param_group):
params=param_group['params']
if isinstance(params, torch.Tensor):
param_group['params']=[params]
...
self.param_groups.append(param_group)
state_dict()：获取优化器当前状态信息字典
load_state_dict()：加载状态信息字典，包括 state 、momentum_buffer 和 param_groups。主要用于模型的断点续训练。我们可以在每隔 50 个 epoch 就保存模型的 state_dict 到硬盘，在意外终止训练时，可以继续加载上次保存的状态，继续训练。代码如下：
def state_dict(self):
r"""Returns the state of the optimizer as a :class:`dict`.
...
return{
'state': packed_state,
'param_groups': param_groups,
}

下面是代码示例：

张量 weight 的形状为 $2 \ imes 2$ ，并设置梯度为 1，把 weight 传进优化器，学习率设置为 1，执行optimizer.step()更新梯度，也就是所有的张量都减去 1。

weight=torch.randn((2, 2), requires_grad=True)
weight.grad=torch.ones((2, 2))

optimizer=optim.SGD([weight], lr=1)
print("weight before step:{}".format(weight.data))
optimizer.step()        # 修改lr=1, 0.1观察结果
print("weight after step:{}".format(weight.data))

输出为：

weight before step:tensor([[0.6614, 0.2669],
[0.0617, 0.6213]])
weight after step:tensor([[-0.3386, -0.7331],
[-0.9383, -0.3787]])

代码如下：

print("weight before step:{}".format(weight.data))
optimizer.step()        # 修改lr=1 0.1观察结果
print("weight after step:{}".format(weight.data))

print("weight in optimizer:{}\
weight in weight:{}\
".format(id(optimizer.param_groups[0]['params'][0]), id(weight)))

print("weight.grad is{}\
".format(weight.grad))
optimizer.zero_grad()
print("after optimizer.zero_grad(), weight.grad is\
{}".format(weight.grad))

输出为：

weight before step:tensor([[0.6614, 0.2669],
[0.0617, 0.6213]])
weight after step:tensor([[-0.3386, -0.7331],
[-0.9383, -0.3787]])
weight in optimizer:1932450477472
weight in weight:1932450477472
weight.grad is tensor([[1., 1.],
[1., 1.]])
after optimizer.zero_grad(), weight.grad is
tensor([[0., 0.],
[0., 0.]])

可以看到优化器的 param_groups 中存储的参数和 weight 的内存地址是一样的，所以优化器中保存的是参数的地址，而不是把参数复制到优化器中。

向优化器中添加一组参数，代码如下：

print("optimizer.param_groups is\
{}".format(optimizer.param_groups))
w2=torch.randn((3, 3), requires_grad=True)
optimizer.add_param_group({"params": w2, 'lr': 0.0001})
print("optimizer.param_groups is\
{}".format(optimizer.param_groups))

输出如下：

optimizer.param_groups is
[{'params':[tensor([[0.6614, 0.2669],
[0.0617, 0.6213]], requires_grad=True)], 'lr': 1, 'momentum': 0, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False}]
optimizer.param_groups is
[{'params':[tensor([[0.6614, 0.2669],
[0.0617, 0.6213]], requires_grad=True)], 'lr': 1, 'momentum': 0, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False},{'params':[tensor([[-0.4519, -0.1661, -1.5228],
[ 0.3817, -1.0276, -0.5631],
[-0.8923, -0.0583, -0.1955]], requires_grad=True)], 'lr': 0.0001, 'momentum': 0, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False}]

首先进行 10 次反向传播更新，然后对比 state_dict 的变化。可以使用torch.save()把 state_dict 保存到 pkl 文件中。

optimizer=optim.SGD([weight], lr=0.1, momentum=0.9)
opt_state_dict=optimizer.state_dict()

print("state_dict before step:\
", opt_state_dict)

for i in range(10):
optimizer.step()

print("state_dict after step:\
", optimizer.state_dict())

torch.save(optimizer.state_dict(), os.path.join(BASE_DIR, "optimizer_state_dict.pkl"))

输出为：

state_dict before step:
{'state':{}, 'param_groups':[{'lr': 0.1, 'momentum': 0.9, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False, 'params':[1976501036448]}]}
state_dict after step:
{'state':{1976501036448:{'momentum_buffer': tensor([[6.5132, 6.5132],
[6.5132, 6.5132]])}}, 'param_groups':[{'lr': 0.1, 'momentum': 0.9, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False, 'params':[1976501036448]}]}

经过反向传播后，state_dict 中的字典保存了1976501036448作为 key，这个 key 就是参数的内存地址。

上面保存了 state_dict 之后，可以先使用torch.load()把加载到内存中，然后再使用load_state_dict()加载到模型中，继续训练。代码如下：

optimizer=optim.SGD([weight], lr=0.1, momentum=0.9)
state_dict=torch.load(os.path.join(BASE_DIR, "optimizer_state_dict.pkl"))

print("state_dict before load state:\
", optimizer.state_dict())
optimizer.load_state_dict(state_dict)
print("state_dict after load state:\
", optimizer.state_dict())

输出如下：

state_dict before load state:
{'state':{}, 'param_groups':[{'lr': 0.1, 'momentum': 0.9, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False, 'params':[2075286132128]}]}
state_dict after load state:
{'state':{2075286132128:{'momentum_buffer': tensor([[6.5132, 6.5132],
[6.5132, 6.5132]])}}, 'param_groups':[{'lr': 0.1, 'momentum': 0.9, 'dampening': 0, 'weight_decay': 0, 'nesterov': False, 'params':[2075286132128]}]}

学习率是影响损失函数收敛的重要因素，控制了梯度下降更新的步伐。下面构造一个损失函数 $y=(2x)^{2}$ ， $x$ 的初始值为 2，学习率设置为 1。

iter_rec, loss_rec, x_rec=list(), list(), list()

lr=0.01    # /1. /.5 /.2 /.1 /.125
max_iteration=20   # /1. 4     /.5 4   /.2 20 200

for i in range(max_iteration):

y=func(x)
y.backward()

print("Iter:{}, X:{:8}, X.grad:{:8}, loss:{:10}".format(
i, x.detach().numpy()[0], x.grad.detach().numpy()[0], y.item()))

x_rec.append(x.item())

x.data.sub_(lr * x.grad)    # x -=x.grad  数学表达式意义:  x=x - x.grad    # 0.5 0.2 0.1 0.125
x.grad.zero_()

iter_rec.append(i)
loss_rec.append(y)

plt.subplot(121).plot(iter_rec, loss_rec, '-ro')
plt.xlabel("Iteration")
plt.ylabel("Loss value")

x_t=torch.linspace(-3, 3, 100)
y=func(x_t)
plt.subplot(122).plot(x_t.numpy(), y.numpy(), label="y=4*x^2")
plt.grid()
y_rec=[func(torch.tensor(i)).item() for i in x_rec]
plt.subplot(122).plot(x_rec, y_rec, '-ro')
plt.legend()
plt.show()

结果如下：

损失函数没有减少，而是增大，这时因为学习率太大，无法收敛，把学习率设置为 0.01 后，结果如下；

从上面可以看出，适当的学习率可以加快模型的收敛。

下面的代码是试验 10 个不同的学习率，[0.01, 0.5]之间线性选择 10 个学习率，并比较损失函数的收敛情况

    iteration=100
    num_lr=10
    lr_min, lr_max=0.01, 0.2  # .5 .3 .2

    lr_list=np.linspace(lr_min, lr_max, num=num_lr).tolist()
    loss_rec=[[]for l in range(len(lr_list))]
    iter_rec=list()

    for i, lr in enumerate(lr_list):
        x=torch.tensor([2.], requires_grad=True)
        for iter in range(iteration):

            y=func(x)
            y.backward()
            x.data.sub_(lr * x.grad)  # x.data -=x.grad
            x.grad.zero_()

            loss_rec[i].append(y.item())

    for i, loss_r in enumerate(loss_rec):
        plt.plot(range(len(loss_r)), loss_r, label="LR:{}".format(lr_list[i]))
    plt.legend()
    plt.xlabel('Iterations')
    plt.ylabel('Loss value')
    plt.show()

结果如下：

上面的结果表示在学习率较大时，损失函数越来越大，模型不能收敛。把学习率区间改为[0.01， 0.2]之后，结果如下：

这个损失函数在学习率为 0.125 时最快收敛，学习率为 0.01 收敛最慢。但是不同模型的最佳学习率不一样，无法事先知道，一般把学习率设置为比较小的数就可以了。

momentum 动量的更新方法，不仅考虑当前的梯度，还会结合前面的梯度。

momentum 来源于指数加权平均： $\\mathrm{v}_{t}=\\boldsymbol{\\beta}* \\boldsymbol{v}_{t-1}+(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\ heta}_{t}$ ，其中 $v_{t-1}$ 是上一个时刻的指数加权平均， $\ heta_{t}$ 表示当前时刻的值， $\\beta$ 是系数，一般小于 1。指数加权平均常用于时间序列求平均值。假设现在求得是 100 个时刻的指数加权平均，那么

$\\mathrm{v}_{100}=\\boldsymbol{\\beta}* \\boldsymbol{v}_{99}+(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\ heta}_{100}$ $=(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\ heta}_{100}+\\boldsymbol{\\beta}*\\left(\\boldsymbol{\\beta}* \\boldsymbol{v}_{98}+(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\ heta}_{99}\\right)$ $=(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\ heta}_{100}+(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\\beta}* \\boldsymbol{\ heta}_{99}+\\left(\\boldsymbol{\\beta}^{2}* \\boldsymbol{v}_{98}\\right)$

$=\\sum_{i}^{N}(\\mathbf{1}-\\boldsymbol{\\beta}) * \\boldsymbol{\\beta}^{i}* \\boldsymbol{\ heta}_{N-i}$

从上式可以看到，由于 $\\beta$ 小于 1，越前面时刻的 $\ heta$ ， $\\beta$ 的次方就越大，系数就越小。

$\\beta$ 可以理解为记忆周期， $\\beta$ 越小，记忆周期越短， $\\beta$ 越大，记忆周期越长。通常 $\\beta$ 设置为 0.9，那么 $\\frac{1}{1-\\beta}=\\frac{1}{1-0.9}=10$ ，表示更关注最近 10 天的数据。

下面代码展示了 $\\beta=0.9$ 的情况

weights=exp_w_func(beta, time_list)

    plt.plot(time_list, weights, '-ro', label="Beta:{}\
y=B^t * (1-B)".format(beta))
    plt.xlabel("time")
    plt.ylabel("weight")
    plt.legend()
    plt.title("exponentially weighted average")
    plt.show()

    print(np.sum(weights))

结果为：

下面代码展示了不同的 $\\beta$ 取值情况

    beta_list=[0.98, 0.95, 0.9, 0.8]
    w_list=[exp_w_func(beta, time_list) for beta in beta_list]
    for i, w in enumerate(w_list):
        plt.plot(time_list, w, label="Beta:{}".format(beta_list[i]))
        plt.xlabel("time")
        plt.ylabel("weight")
    plt.legend()
    plt.show()

结果为：

$\\beta$ 的值越大，记忆周期越长，就会更多考虑前面时刻的数值，因此越平缓。

在 PyTroch 中，momentum 的更新公式是：

$v_{i}=m * v_{i-1}+g\\left(w_{i}\\right)$ $w_{i+1}=w_{i}-l r * v_{i}$

其中 $w_{i+1}$ 表示第 $i+1$ 次更新的参数，lr 表示学习率， $v_{i}$ 表示更新量， $m$ 表示 momentum 系数， $g(w_{i})$ 表示 $w_{i}$ 的梯度。展开表示如下：

$\\begin{aligned}\\boldsymbol{v}_{100}&=\\boldsymbol{m}* \\boldsymbol{v}_{99}+\\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{100}\\right) \\\\ &=\\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{100}\\right)+\\boldsymbol{m}*\\left(\\boldsymbol{m}* \\boldsymbol{v}_{98}+\\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{99}\\right)\\right) \\\\ &=\\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{100}\\right)+\\boldsymbol{m}* \\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{99}\\right)+\\boldsymbol{m}^{2}* \\boldsymbol{v}_{98}\\\\ &=\\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{100}\\right)+\\boldsymbol{m}* \\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{99}\\right)+\\boldsymbol{m}^{2}* \\boldsymbol{g}\\left(\\boldsymbol{w}_{98}\\right)+\\boldsymbol{m}^{3}* \\boldsymbol{v}_{97}\\end{aligned}$

下面的代码是构造一个损失函数 $y=(2x)^{2}$ ， $x$ 的初始值为 2，记录每一次梯度下降并画图，学习率使用 0.01 和 0.03，不适用 momentum。

    def func(x):
        return torch.pow(2*x, 2)    # y=(2x)^2=4*x^2        dy/dx=8x

    iteration=100
    m=0     # .9 .63

    lr_list=[0.01, 0.03]

    momentum_list=list()
    loss_rec=[[]for l in range(len(lr_list))]
    iter_rec=list()

    for i, lr in enumerate(lr_list):
        x=torch.tensor([2.], requires_grad=True)

        momentum=0. if lr==0.03 else m
        momentum_list.append(momentum)

        optimizer=optim.SGD([x], lr=lr, momentum=momentum)

        for iter in range(iteration):

            y=func(x)
            y.backward()

            optimizer.step()
            optimizer.zero_grad()

            loss_rec[i].append(y.item())

    for i, loss_r in enumerate(loss_rec):
        plt.plot(range(len(loss_r)), loss_r, label="LR:{}M:{}".format(lr_list[i], momentum_list[i]))
    plt.legend()
    plt.xlabel('Iterations')
    plt.ylabel('Loss value')
    plt.show()

结果为：

可以看到学习率为 0.3 时收敛更快。然后我们把学习率为 0.1 时，设置 momentum 为 0.9，结果如下：

虽然设置了 momentum，但是震荡收敛，这是由于 momentum 的值太大，每一次都考虑上一次的比例太多，可以把 momentum 设置为 0.63 后，结果如下：

可以看到设置适当的 momentum 后，学习率 0.1 的情况下收敛更快了。

下面介绍 PyTroch 所提供的 10 种优化器。

optim.SGD(params, lr=<required parameter>, momentum=0, dampening=0, weight_decay=0, nesterov=False

随机梯度下降法

主要参数：

params：管理的参数组
lr：初始学习率
momentum：动量系数 $\\beta$
weight_decay：L2 正则化系数
nesterov：是否采用 NAG

自适应学习率梯度下降法

Adagrad 的改进

RMSProp 集合 Momentum，这个是目前最常用的优化器，因为它可以使用较大的初始学习率。

Adam 增加学习率上限

稀疏版的 Adam

随机平均梯度下降

弹性反向传播，这种优化器通常是在所有样本都一起训练，也就是 batchsize 为全部样本时使用。

BFGS 在内存上的改进

参考资料

深度之眼 PyTorch 框架班

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